Question

已知，函数在点处与轴相切

（1）求的值，并求的单调区间；

（2）当时，，求实数的取值范围。

Answer

（1）见解析（2）

【解析】

（1）求出函数的导数，利用已知条件列出方程，求出，判断导函数的符号，然后求解单调区间．
（2）令，．求出，令，求出导数，通过（i）若，（ii）若，判断函数的单调性求解最值，然后求解的取值范围．

（Ⅰ）函数在点处与轴相切．，

依题意，解得，所以．

当时，；当时，．

故的单调递减区间为，单调递增区间为．

（2）令，．则，

令，则，

（ⅰ）若，因为当时，，，所以，

所以即在上单调递增．又因为，

所以当时，，从而在上单调递增，

而，所以，即成立．

（ⅱ）若，可得在上单调递增．

因为，，所以存在，使得，且当时，，所以即在上单调递减，

又因为，所以当时，，从而在上单调递减，

而，所以当时，，即不成立．

综上所述，的取值范围是．