Question

已知数列的前项和为，且，

（1）求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；

（2）是否存在实数，对任意，不等式恒成立？若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由．

Answer

（1）证明略； （2）

【解析】

（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步证明数列为等比数列；

（2）利用（1）的结论，进一步利用分组法和恒成立问题求出实数λ的取值范围．

证明：（1）已知数列{an}的前n项和为Sn，且，①

当n=1时，，

则：当n≥2时，，②

①﹣②得：an=2an﹣2an﹣1﹣+，

整理得：，

所以：，

故：（常数），

故：数列{an}是以为首项，2为公比的等比数列．

故：，

所以：．

由于：，

所以：（常数）．

故：数列{bn}为等比数列．

（2）由（1）得：，

所以：+（），

=，

=，

假设存在实数λ，对任意m，n∈N*，不等式恒成立，

即：，

由于：，

故当m=1时，，

所以：，

当n=1时，．

故存在实数λ，且．