Question

设是在点处的切线．

（1）求证： ；

（2）设，其中．若对恒成立，求的取值范围．

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）求导得切线斜率，进而得切线方程，令，求导利用单调性可得，从而得证.

（2）由，结合定义域，讨论时，由可得，得函数单增，可证得，讨论时，由导数可得存在 ，使得，，从而得解.

（1）设 ，则，所以．所以 ．

令．

满足，且．

当时， ，故单调递减；

当时， ，故单调递增．

所以， ．所以 ．

（2）法一： 的定义域是，且 ．

① 当时，由（1）得 ，

所以 ．

所以 在区间 上单调递增， 所以 恒成立，符合题意．

② 当时，由，且的导数，

所以 在区间上单调递增．

因为，

于是存在 ，使得．

所以 在区间 上单调递减，在区间上单调递增，

所以，此时不会恒成立，不符合题意．

综上， 的取值范围是．

法二：∵

∴

当

当

令=

令,

故,故，

综上.