Question

如图，在梯形中，，，.

（1）求；

（2）平面内点在的上方，且满足，求的最大值.

Answer

（1）；（2）2.

【解析】分析：（1）在中， ,在中，＝,由得，即，从而可得结果；（2）在中，由余弦定理得,

，利用基本不等式可得结果.

详解：（1）∵DC∥AB，AB＝BC，∴∠ACD＝∠CAB＝∠ACB．

在△ACD中，记DC＝AC＝t，由余弦定理得

cos∠ACD＝．

在△ACB中，cos∠ACB＝．

由得t3－2t2＋1＝0，即(t－1)(t2－t－1)＝0，

解得t＝1，或t＝．

∵ t＝1与梯形矛盾，舍去，又t>0，

∴ t＝，即DC＝．

（2）由（1）知∠CAD＝∠ADC＝∠BCD＝2∠ACD．

故5∠ACD＝180°，∠ACD＝∠ACB＝36°，

故∠DPC＝3∠ACB＝108°．

在△DPC中，由余弦定理得DC2＝DP2＋CP2－2DP·CPcos∠DPC，

即t2＝DP2＋CP2－2DP·CPcos108°

＝(DP＋CP)2－2DP·CP(1＋cos108°)

＝(DP＋CP)2－4DP·CPcos254°

∵4DP·CP≤(DP＋CP)2，(当且仅当DP＝CP时，等号成立．)

∴t2≥(DP＋CP)2(1－cos254°)

＝(DP＋CP)2 sin254°

＝(DP＋CP)2 cos236°

＝(DP＋CP)2·

∴(DP＋CP)2≤4，DP＋CP≤2．

故当DP＝CP＝1时，DP＋CP取得最大值2．