Question

如图，点,,,分别为椭圆: 的左、右顶点，下顶点和右焦点，直线过点，与椭圆交于点，已知当直线轴时，.

(1)求椭圆的离心率;

(2)若当点与重合时，点到椭圆的右准线的距离为上.

①求椭圆的方程;

②求面积的最大值.

Answer

（1）（2）①②

【解析】分析：（1）先求当直线轴时，，再根据条件得，最后由解得离心率，（2）设直线为，，，，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理化简，即得

，令，利用基本不等式求最值，最后考虑特殊情形下三角形面积的值.

详【解析】
【解析】
（1）在中，令

可得，所以

所以当直线轴时，

又，所以

所以，所以

（2）① 因为，所以，

椭圆方程为

当点与点重合时，点坐标为

又，所以此时直线为

由得

又，所以

所以椭圆方程为

② 设直线为

由得

即，恒成立

设，

则 ，

所以

令，则且

，

易知函数在上单调递增

所以当时，

即的面积的最大值为