Question

已知函数.

（1）求函数的单调区间和极值；

（2）若有两个零点，求实数的范围.

Answer

（1）增区间为，减区间为；极小值，无极大值.（2）

【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，进而求得函数的极值；
（2）求出函数的导数，通过讨论的范围，确定函数的单调性，求出实数的范围.

试题解析：（1）根据，

令，解得，当变化时， ， 的变化情况如下表：

递减

递增

∴函数的增区间为，减区间为；

函数在处取的极小值，无极大值.

（2）由，则，

当时， ，易知函数只有一个零点，不符合题意，

当时，在上， 单调递减；在上， 单调递增，又， ，当时， ，所以函数有两个零点，

当时，在和上， 单调递增，在上， 单调递减.又 ，所以函数至多一个零点，不符合题意，

当时，在和上， 单调递增，在上， 单调递减.

又，所以函数至多一个零点，不符合题意，

当时， ，函数在上单调递增，所以函数至多一个零点，不符合题意，

综上，实数的取值范围是.