Question

已知椭圆： 的长轴长为，且经过点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦与，求的取值范围.

Answer

（1）（2）

【解析】试题分析：（1）由题意知，将点代入椭圆方程， 可得，由此可知椭圆的标准方程；

（Ⅱ）分别对两条弦的斜率进行讨论，当两条弦中一条斜率为0时、另一条弦的斜率不存在时易得结论；当两条弦斜率均存在且不为0时，通过设直线方程并分别与椭圆方程联立，利用韦达定理及两点间距离公式，可得|的表达式，利用换元法及二次函数的性质计算即得结论．

试题解析：（1）由题意知则，根据经过点， 可得，由此可知椭圆的标准方程为.

（2）当两条弦中一条斜率为时，另一条弦的斜率不存在，由题意知，

当两弦斜率均存在且不为时，设， ，且设直线的方程为，则直线的方程为，

将直线的方程代入椭圆方程中，并整理得，则，

所以 ，

同理 ，

所以 ，令，

则， ， ，设 ，

因为，所以，所以，

所以，综上可知， 的取值范围是.