Question

在数列中， ， ， ，其中．

⑴ 求证：数列为等差数列；

⑵ 设， ，数列的前项和为，若当且为偶数时， 恒成立，求实数的取值范围；

⑶ 设数列的前项的和为，试求数列的最大值.

Answer

⑴见解析⑵⑶

【解析】试题分析：（1）根据题意，由数列的递推公式分析可得与的关系式，由等差数列的定义分析可得答案；
（2）根据题意，求出数列数列的前项和为的表达式，当 且为偶数时，设，求出的表达式，分析可得答案；
（3）由（2）的结论求出 即可得的表达式，设 ，由数列的函数特征分析数列 变化的规律，分析可得答案．

试题解析：

⑴证明：

，

，

数列是公差为1的等差数列；

⑵由⑴可知， ，故.

因为，

所以 ，

当且为偶数时，设，

则

，

要使对且为偶数恒成立，

只要使对且为偶数恒成立，

即使对为正偶数恒成立，

， ，故实数的取值范围是；

⑶由⑴得， ，

，

，

设，

，

当时， ，即，

当时， ，即，

，

因此数列的最大值为．