Question

已知函数有两个零点.

(1)求的取值范围；

(2)是否存在实数， 对于符合题意的任意，当 时均有?

若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．

Answer

(1) ；(2) .

【解析】试题分析：（1）先分离得 ，再利用导数可得单调性：先减再增，结合图像以及值域可得的取值范围；（2）先根据，得，再根据零点解得，转化不等式得，令，化简得，因此 ， ，最后根据导数研究对应函数单调性，确定对应函数最值，即得取值集合

试题解析：(1) ，

当时， 对恒成立，与题意不符，

当， ，

∴时，

即函数在单调递增，在单调递减，

∵和时均有，

∴，解得： ，

综上可知： 的取值范围；

(2)由(1)可知，

由的任意性及知， ，且，

∴，

故，

又∵，令，则，且恒成立，

令，而，

∴时， 时，

∴，令，

若，则时， ，即函数在单调递减，

∴，与不符；

若，则时， ，即函数在单调递减，

∴，与式不符；

若，解得，此时恒成立， ，

即函数在单调递增，又，

∴时， ； 时， 符合式，

综上，存在唯一实数符合题意.