Question

已知动圆过定点,且在轴上截得线段的长为 4，直线交轴于点.

(1)求动圆圆心的轨迹的方程；

(2)直线与轨迹交于两点，分别以为切点作轨迹的切线交于点，若.试判断实数所满足的条件，并说明理由.

Answer

(1) ；(2) .

【解析】试题分析：（1）根据垂径定理列出动圆圆心满足的条件，化简可得轨迹方程；（2）由, 得,再利用导数几何意义得切线斜率，根据点斜式可得切线方程，解方程组可得P点坐标，联立直线方程与抛物线方程，结合韦达定理化简等量关系得，解得.

试题解析：(1)设动圆圆心的坐标为，半径， ，

∵动圆过定点，且在轴上截得线段的长为4，

∴，消去得，

故所求轨迹的方程为 ；

(2)实数是定值，且，下面说明理由，

不妨设，

，由题知，

由，消去得，

∴，轨迹在点处的切线方程为，即，

同理，轨迹在处的切线方程为，

联立：的方程解得交点坐标，即，

由,

得,即,

， ，

∴，

即，

则，

则，故实数是定值，且.