Question

已知四棱锥中，平面平面，且，

是等边三角形，   .

(1)证明： 平面；

(2)求二面角的余弦值.

Answer

(1) 见解析. (2) .

【解析】试题分析：（1）根据计算可得，根据面面垂直性质定理得平面，即得， 根据等腰三角形性质得，最后根据线面垂直判定定理得结论（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解得各面法向量，根据向量数量积求两法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果

试题解析：(1)在中， ,所以,

又是等边三角形，所以,所以,即,

又因为平面平面，平面 平面，所以平面，故.在中， .

所以.

又因为 ,所以平面.

(2)解法一：如图，取的中点，连接.则在等腰中， .又因为平面平面,平面 平面，所以平面.过点作的平行线，则平面.

由(1)知,故以为坐标原点，以直线分别作为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.设,则在中， , .

又在中， ,

所以，故.

又因为是等边三角形，所以.

所以, , , ，即.

所以, , .

设平面的法向量为，则由，

得.

令，得.故为平面的一个法向量.

因为平面，故为平面

的一个法向量.

故

.

设二面角为，则由图可知,

所以.

解法二：取的中点，连接，连接并延长，交于，连接.则在等腰中， .

又因为平面平面，平面平面,

所以平面.

设,则在中， .

又在中， ，

所以

，故.

中， ，所以，且.

故,又,且,

所以,故.

又因为平面，由三垂线定理可得,

所以为二面角的平面角.

在中， ,所以.

故.所以在中， ,

故

∴二面角的余弦值为.