Question

已知椭圆的上、下顶点、右顶点、右焦点分别为B₂、B₁、A、F，延长B₁F与AB₂交于点P，若∠B₁PA为钝角，则此椭圆的离心率e的取值范围为_____．

Answer

【解析】由题意得椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a、b、c，（c=）

可得∠B1PA等于向量与的夹角，

∵A（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b），F2（c，0）

∴=（a，﹣b），=（﹣c，﹣b），

∵∠B1PA为钝角，∴与的夹角大于，

由此可得•＜0，即﹣ac+b2＜0，

将b2=a2﹣c2代入上式得：a2﹣ac﹣c2＜0，

不等式两边都除以a2，可得1﹣e﹣e2＜0，即e2+e﹣1＞0，

解之得e＜或e＞，

结合椭圆的离心率e∈（0，1），可得＜e＜1，即椭圆离心率的取值范围为（，1）．故答案为（，1）．