Question

已知椭圆过点，且离心率为．

(I)求椭圆的方程；

(Ⅱ)设直线与椭圆交于两点．若直线上存在点，使得四边形是平行四边形，求的值．

Answer

(1) (2) ，或

【解析】试题分析：（Ⅰ）由椭圆过点，可得，再由离心率为结合，可求得，从而可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，则， ，由 得，由韦达定理、弦长公式结合，可得，解方程即可求得的值.

试题解析：（Ⅰ）由题意得 ， ， 所以 ．

因为 ，

所以 ，

所以 椭圆的方程为 ．

（Ⅱ）若四边形是平行四边形，

则 ，且 .

所以 直线的方程为，

所以 ， ．

设， ．

由 得，

由，得 ．

且， ．

所以 .

．

因为 ， 所以 ．

整理得 ，

解得 ，或 ．

经检验均符合，但时不满足是平行四边形，舍去．

所以 ，或 ．