Question

如图，三棱柱中， 平面， ， .过的平面交于点，交于点.

(l)求证： 平面；

(Ⅱ)求证：四边形为平行四边形；

(Ⅲ)若是，求二面角的大小．

Answer

(1)见解析(2) 见解析(3)

【解析】试题分析：（Ⅰ）由线面垂直的性质 可得，由菱形的性质可得．从而由线面垂直的判定定理可得平面；（Ⅱ）先证明平面，再根据线面平行的性质可得，根据面面平行的性质可得，从而得四边形为平行四边形；（Ⅲ）在平面内，过作．因为 平面，所以，以 为轴建立空间直角坐标系，可知平面的法向量为，根据向量垂直数量积为零列方程组求出平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.

试题解析：（Ⅰ）因为 平面，所以 ．

因为 三棱柱中， ，所以 四边形为菱形，

所以 ． 与在平面内相交.

所以 平面．

（Ⅱ）因为 ， 平面，所以 平面．

因为 平面平面，所以 ．

因为 平面平面，

平面平面，平面平面，

所以 ．

所以 四边形为平行四边形．

（Ⅲ）在平面内，过作．

因为 平面，

如图建立空间直角坐标系．

由题意得， ， ， ， ， ．

因为 ，所以 ，

所以 ．

由（Ⅰ）得平面的法向量为．

设平面的法向量为，

则 即

令，则， ，所以 ．

所以 ．

由图知 二面角的平面角是锐角，

所以 二面角的大小为．

【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理、线面平行的性质、面面平行的直线以及利用空间向量求二面角，属于难题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.