Question

如图，多面体PABCD的直观图及三视图如图所示，E、F分别为PC、BD的中点.

（I）求证：EF∥平面PAD；

（II）求证：平面PDC⊥平面PAD.

Answer

（1）见解析；（2）见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）由多面体PABCD的三视图知，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是等腰三角形，PA=PD=，且平面PAD平面ABCD．先证明EF∥PA，由线面平行的判定定理证明EF∥平面PAD；
（Ⅱ）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，又CD⊥AD，所以，CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA又可得△PAD是等腰直角三角形，所以PA⊥AD，根据线面垂直的判定定理得PA⊥平面PDC，又PA⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面PDC．

试题解析：

（I）证明：由多面体的三视图知，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧面是等腰三角形，，且平面平面. 连结，则是的中点，在△中，，且

平面，

平面，

∴∥平面

(2) 因为平面⊥平面， 平面∩平面， 又⊥，所以，⊥平面，∴⊥ 又，,所以△是

等腰直角三角形，且，即 又CD∩PD=D， ∴PA⊥平面PDC，又PA⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面PDC．