Question

如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD= ，点E是PD的中点.

 （Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；

 （Ⅱ）求二面角E—AC—D的大小；

 （Ⅲ）求点P到平面EAC的距离.

Answer

（1）见解析；（2）；（3）.

【解析】试题分析：（I）证明PA⊥AB，PA⊥AD，AB、AD是平面ABCD内的两条相交直线，即可证明PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系A—xyz, , 求出平面EAC的法向量为，平面的法向量为， 即得二面角大小（Ⅲ）由（II）问得，点P平面EAC的距离代入计算即得解.

试题解析：

（Ⅰ）证明：因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°

所以AB=AD=AC=a，

在△PAB中，可证PA2+AB2=2a2 = PB2 ∴PA⊥AB.

同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.

（II）如图，建立空间直角坐标系A—xyz

设平面EAC的法向量为， ， ，又平面ACD的法向量为

，即二面角E—AC—D的大小为；

（III）点P平面EAC的距离 。