Question

已知曲线C：x²+y²-2x-4y+m=0

（1）当m为何值时，曲线C表示圆；

（2）若曲线C与直线x+2y-4=0交于M、N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值。

Answer

（1）m<5；（2）m=.

【解析】试题分析：（1）由二元二次方程表示圆的条件D2+E2-4F大于0列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围；（2）设出曲线与直线的交点M和N的坐标，联立曲线C与直线的方程，消去y后得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，然后由OM与ON垂直得到M和N横坐标之积与纵坐标之积的和为0，由直线方程化为横坐标的关系式，把表示出的两根之和与两根之积代入即可求出m的值．

试题解析：

（1）由D2+E2-4F=4+16-4m=20-4m>0，得m<5

（2）设M(x1,y1),N(x2,y2)，由OM⊥ON得x1x2+ y1y2=0.

将直线方程x+2y-4=0与曲线C：x2+y2-2x-4y+m=0联立并消去y得

5x2-8x+4m-16=0，由韦达定理得x1+x2=①,x1x2=②，

=64-20（4m-16）=384-80m﹥0﹥所以m﹤4

又由x+2y-4=0得y= (4-x),

∴x1x2+y1y2=x1x2+ (4-x1)· (4-x2)= x1x2-( x1+x2)+4=0.

将①、②代入得m=,满足﹥ 0.