Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且

（1）判断△ABC的形状，并加以证明；

（2）当c = 1时，求△ABC周长的最大值.

Answer

(1)见解析；（2）ABC周长的最大值为

.

【解析】试题分析：（1）由可得： 即cosA= ，即b=c×cosA

由余弦定理得： ∴c2=a2+b2即得三角形形状（2）由（1）知△ABC为直角三角形，c为斜边，当c=1时设另两直角边长分别为a，b，则a2+b2=1 ∵∴△ABC周长=1+a+b 即得△ABC周长的最大值.

试题解析：

（1）原式可得：

即cosA= 即b=c×cosA

由余弦定理得：

∴c2=a2+b2 即△ABC为直角三角形

（2）由（1）知△ABC为直角三角形，c为斜边

当c=1时设另两直角边长分别为a，b

a2+b2=1

∵

∴△ABC周长=1+a+b

当且仅当a=b即 △ABC为等腰直角三角形时取等号.

∴△ABC周长的最大值为