Question

选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线的参数方程为（为参数），当时，曲线上对应的点为，以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求证：曲线的极坐标方程为；

（2）设曲线与曲线的公共点为，求的值.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）利用加减消元法将曲线的参数方程为参数消去，得到，故曲线的极坐标方程为；（2）先将直线的方程化为标准的参数方程为（为参数），将的极坐标方程化为直角坐标方程为，联立直线的参数方程和，有，故.

试题解析：

（1）证明：因为曲线的参数方程为（为参数），

所以曲线的直角坐标方程为.

所以曲线的极坐标方程为.

（2）【解析】
当时，，

由（1）知，曲线是经过的直线，设它的倾斜角为，则，

所以，曲线的参数方程为（为参数），

因为，所以，所以曲线的直角坐标方程为，

将代入，得,

所以.