Question

已知椭圆 （）的两个顶点分别为，，点为椭圆上异于的点，设直线的斜率为，直线的斜率为，.

（1）求椭圆的离心率；

（2）若，设直线与轴交于点，与椭圆交于两点，求的面积的最大值.

Answer

(1);（2）面积的最大值为.

【解析】试题分析：（1）可得，，所以，从而可得结果；（2）设直线 的方程为：代入椭圆的方程有：，根据韦达定理，弦长公式即三角形面积公式可得 ，利用基本不等式可得结果.

试题解析：（1） ，

整理得：，

又，，所以，

．

（2）由（Ⅰ）知，又，

所以椭圆C的方程为.

设直线 的方程为：代入椭圆的方程有：，

设，

，

令，则有，

代入上式有，

当且仅当即时等号成立，

所以的面积的最大值为．