Question

设函数

（1）若，求过原点与相切的直线方程；

（2）判断在上的单调性并证明.

Answer

(1) ；(2) 当时， 在上单调递增；当时， 在

上单减，在上单增．.

【解析】试题分析：（1）利用导数的几何意义求直线的切线方程；（2），分类讨论解导数不等式，确定函数的单调区间.

试题解析：

（Ⅰ）设切点坐标为，

则有解得： ，

所以过原点与相切的直线方程为： ．

（Ⅱ），

当时， 恒成立，所以在上单调递增；

当时，由得： ，

所以在上单减，在上单增.

当，即时，解得，

即当时， 在上单调递增；

当，即时，解得，

即当时， 在 上单减，在上单增．

综上所述，当时， 在上单调递增；当时， 在

上单减，在上单增．