Question

如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，

DE＝1，EC＝，EA＝2，

∠ADC＝，∠BEC＝.

(Ⅰ)求sin∠CED的值；

(Ⅱ)求BE的长．

Answer

(1) sin∠CED＝ ;(2) BE＝4 .

【解析】试题分析：（1）由余弦定理得，EC2＝CD2＋DE2－2CD·DE·cos∠EDC，解得CD＝2；在△CDE中，由正弦定理得sin∠CED＝；（2）cos ∠AEB＝cos －α，cos α＝ ＝ Rt△EAB中，cos∠AEB＝，BE＝4。

(Ⅰ)在△CDE中，由余弦定理得，EC2＝CD2＋DE2－2CD·DE·cos∠EDC.

由题设知，7＝CD2＋1＋CD，即CD2＋CD－6＝0.解得CD＝2(CD＝－3舍去)．

在△CDE中，由正弦定理得， ，

于是sin α＝ ，即sin∠CED＝.

(Ⅱ)由题设知，0＜α＜，于是由(1)知，cos α＝ ＝.

而∠AEB＝－α，所以cos ∠AEB＝cos －α ＝cos cos α＋sin sin α＝－cos α＋ sin α＝ .

在Rt△EAB中，cos∠AEB＝ ＝ ，故BE＝4 .