Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₄＝4S₂，a_2n＝2a_n＋1.

(Ⅰ)求数列{a_n}的通项公式．

(Ⅱ)设数列{b_n}的前n项和为T_n，且T_n＋＝λ(λ为常数)，令c_n＝b_2n(n∈N^*)．求数列{c_n}的前n项和R_n.

Answer

(1) an＝2n－1，n∈N* ;(2) Rn .

【解析】试题分析：（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d；由等差数列的定义得an＝2n－1；

（2）bn＝Tn－Tn－1＝，cn＝b2n＝ ＝(n－1) n－1

得到Rn＝。

(Ⅰ)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.

由S4＝4S2，得d＝2a1，又因为a2n＝2an＋1，

所以a2＝2a1＋1得d＝a1＋1，得a1＝1，d＝2.因为an＝2n－1，n∈N*.

(Ⅱ)由(1)知Tn＝λ－，所以n≥2时，

bn＝Tn－Tn－1＝，故cn＝b2n＝ ＝(n－1) n－1，n∈N*

所以Rn＝0×0＋1×1＋2×2＋3×3＋…＋(n－1)×n－1，

则Rn＝0×1＋1×2＋2×2＋3×4＋…＋(n－1)×n，

两式相减得Rn＝1＋2＋3＋4＋…＋n－1－(n－1) n

＝ ，

整理得Rn＝.