Question

对于集合,定义函数对于两个集合,定义集合. 已知, .

(Ⅰ)写出和的值,并用列举法写出集合;

(Ⅱ)用表示有限集合所含元素的个数,求的最小值;

(Ⅲ)有多少个集合对,满足,且?

Answer

(1) ,, ，(2)4，（3）128

【解析】试题分析：（Ⅰ）依据定义直接得到答案；（Ⅱ）根据题意可知：对于集合,

①且,则;②若且,则.，据此结论找出满足条件的集合，从而求出的最小值．（Ⅲ）由P，Q⊆A∪B，且（P△A）△（Q△B）=A△B求出集合P，Q所满足的条件，进而确定集合对（P，Q）的个数．

试题解析：

(Ⅰ) ,, .

(Ⅱ)根据题意可知：对于集合,

①且,则;

②若且,则.

所以要使的值最小,2,4,8一定属于集合;1,6,10,16是否属于不影响的值;集合不能含有之外的元素.

所以当为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时, 取到最小值4.

(Ⅲ)因为,

所以.

由定义可知： .

所以对任意元素,,

.

所以.

所以.

由知： .

所以.

所以.

所以,即.

因为,

所以满足题意的集合对的个数为.