Question

设函数，

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)当， 时，求证： .

Answer

(1)增区间为： ， .减区间为， .(2) 见解析。

【解析】试题分析：（1）本问考查利用导数求函数的单调性，首先确定函数的定义域为，对求导数，解得增区间，解得减区间；（2）本问考查利有导数证明不等式，当时，只需证： ，即转化为证明当时成立，构造函数，转化为证明在时恒成立即可，转化为求函数的最小值问题.

试题解析：(1)函数的定义域为，当时， ，

令： ，得： 或，所以函数单调增区间为： ， .

，得： ，所以函数单调减区间为， .

(2)若证， 成立，只需证： ，

即： 当时成立.

设.

∴，显然在内是增函数，

且， ，

∴在内有唯一零点，使得： ，

且当， ；

当， .

∴在递减，在递增.

，

∵，∴.

∴，∴成立.