Question

椭圆与的中心在原点，焦点分别在轴与轴上，它们有相同的离心率，并且的短轴为的长轴，与的四个焦点构成的四边形面积是.

(1)求椭圆与的方程；

(2)设是椭圆上非顶点的动点，与椭圆长轴两个顶点，的连线，分别与椭圆交于，点.

(i)求证：直线，斜率之积为常数；

(ii)直线与直线的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，说明理由.

Answer

(1)，.(2)(i) 见解析(ii).

【解析】试题分析：（1）椭圆离心率，又，所以，设，则根据题中条件可设，于是根据椭圆的对称性可知，四个焦点构成的四边形为菱形，面积，解得，可以得到椭圆，；（2）(i)本问考查圆锥曲线中的定点、定值问题，分析题意，设，而，，所以，，于是，又因为，代入上式易求；(ii)根据(i)问，可先证明为定值，再证明为定值，于是可以得到为定值，由于，，所以可以得为定值.

试题解析：(1)依题意，设，，由对称性，四个焦点构成的四边形为菱形，且面积，解得：.

所以椭圆，.

(2)(i)设，则，，.

，.

所以：.

直线，斜率之积为常数.

(ii)设，则.

，，

所以：，同理：，

所以：，由，，结合(i)有

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