Question

已知数列满足， ， ，

又．

（Ⅰ）求证数列是等比数列，并求出的通项公式；

（Ⅱ）若的前和为， ．

①判断并证明数列的单调性；

②求证： ．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）①数列为递增数列．②见解析．

【解析】试题分析：（Ⅰ）利用等比定义证明数列是等比数列；（Ⅱ）①作差法证明数列的单调性，②利用放缩法证明不等式.

试题解析：

（Ⅰ）,当时，

又，故数列是以3为公比，2为首项的等比数列

，

，

（Ⅱ）①，

∴．即数列为递增数列．

②对于不等式左边：

当时，由①可知递增，从而

，又，

当时， ，

故综上， ．

对于不等式右边：

当时,

当时, ，故

综上所述， 成立．