Question

在平面直角坐标系中， 分别为椭圆： 的左、右焦点, 为短轴的一个端点， 是椭圆上的一点，满足，且的周长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设点是线段上的一点，过点且与轴不垂直的直线交椭圆于两点，若是以为顶点的等腰三角形，求点到直线距离的取值范围.

Answer

（1）（2）

【解析】试题分析：（1）由已知，设，则， ， ，由此能求出椭圆的方程；（2）设点，（ ），直线的方程为，k≠0，由，得： ，由此利用韦达定理、中点坐标公式、点到直线的距离公式，结合已知条件能求出点到直线距离的取值范围.

试题解析：（1）由已知，设，即

∴即 ∴ 得： ①

又的周长为∴ ②

又①②得： ∴ ∴所求椭圆的方程为：

（2）设点,直线的方程为

由 消去，得：

设， 中点为

则 ∴

∴ 即

∵是以为顶点的等腰三角形 ∴ 即

∴

设点到直线距离为，

则 ∴

即点到直线距离的取值范围是。