Question

如图，已知长方形中，, 为的中点。将 沿折起，使得平面平面。

（1）求证： ； 

（2）若点是线段上的一动点，问点E在何位置时，二面角的余弦值为。

Answer

（1）详见解析（2）为的中点

【解析】试题分析：（1）由已知条件可以比较容易的建立空间坐标系，因此求解时可采用空间向量求解，求出直线的方向向量和平面的法向量后，证明两直线垂直即证明两直线的方向向量是垂直的，二面角的大小可转化为两个半平面法向量的夹角，因此（2）求解时先设出点的位置，直线的方向向量和平面法向量夹角转化为二面角求得点的位置

试题解析：（1）因为平面平面， 是的中点， 取的中点O，连结OD，则平面，取AB的中点N，连结ON，则，以O为原点如图建立空间直角坐标系，根据已知条件，得

，则

所以，故

（Ⅱ）设，因为平面的一个法向量

，

设平面的一个法向量为，

取，得，所以，

因为

求得，所以为的中点。

考点：1．线面垂直的判定；2．二面角的求解