Question

（不等式选讲）

已知函数．

(1)若，解不等式；

(2)若不等式在R上恒成立，求实数的取值范围.

Answer

(1)[2，＋∞)．(2){a|a≥2或a≤－4}．

【解析】试题分析：(1)分x<－1，－1≤x≤3，x>3三种情况去掉绝对值讨论即可.

(2)由绝对值三角不等式的性质可得|x＋a|＋|x－1|≥|a＋1|，只需|a＋1|≥3，求解即可.

试题解析：(1)依题意，|x＋1|＋|x－3|≤2x.

当x<－1时，原不等式化为－1－x＋3－x≤2x，解得x≥，故无解；

当－1≤x≤3时，原不等式化为x＋1＋3－x≤2x，解得x≥2，故2≤x≤3；

当x>3时，原不等式化为x＋1＋x－3≤2x，即－2≤0恒成立．

综上所述，不等式f(x)＋|x－3|≤2x的解集为[2，＋∞)．

(2)f(x)＋|x－1|≥3⇔|x＋a|＋|x－1|≥3恒成立，

由|x＋a|＋|x－1|≥|a＋1|可知，只需|a＋1|≥3即可，

故a≥2或a≤－4，即实数a的取值范围为{a|a≥2或a≤－4}．