Question

【2017省息一中第七次适应性考】已知函数（），且的导数为.

（Ⅰ）若是定义域内的增函数，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若方程有3个不同的实数根，求实数的取值范围.

Answer

（Ⅰ）.（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）只需，即恒成立，求出即可得结果；（Ⅱ）原方程等价于，研究函数的单调性，结合图象可得结果.

试题解析：（Ⅰ）因为 ，所以.

由，得，即

对于一切实数都成立.

再令，则，由，得.

而当时， ，当时， ，所以当时， 取得极小值也是最小值，即，所以的取值范围是.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

所以方程 ，即 ，

整理，得.

令，则 ，

令，解得或.

列表得：

1

0

0

增

极大值

减

极小值

增

由表可知当时， 取得极大值；

当时， 取得极小值.

又当时， ， ，此时.

因此当时， ；当时， ；当时， ，因此实数的取值范围是.