Question

【2017衡水中学三模】已知函数．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若对任意及，恒有成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）求导得，讨论单调性即可；

（2）若对任意及，恒有成立，求的最大值，最小值，解得恒成立，得.

试题解析：

（1），

当时， ，令，得或，

令，得；

当时，得，令，得或，

令，得；

当时， ，

综上所述，当时，函数的递减区间为和，递增区间；当时，函数在上单调递减；当时，函数的递减区间为和，递增区间为．

（2）由（1）可知，当时，函数在区间上单调递减，

当时，函数取最大值；当时，函数取最小值．

．

∵，整理得．

∵， ∴恒成立，

∵， ∴， ∴．

点睛：利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法

分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解