Question

【2017衡阳第二次联考】已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）如果对于任意的， 恒成立，求实数的取值范围；

（3）设函数， ，过点作函数的图象的所有切线，令各切点的横坐标按从小到大构成数列，求数列的所有项之和的值.

Answer

（1）增区间为；减区间为.（2）（3）

【解析】试题分析：（1）求单调区间则根据导数解不等式即可（2）令 要使恒成立，只需当时， 分析函数单调性求出最小值解不等式即可（2） 设切点坐标为，则切线斜率为从而切线方程为 代入M，令， ，这两个函数的图象均关于点对称，则它们交点的横坐标也关于对称，从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列的项也关于成对出现根据此规律即可分析得解

试题解析：

⑴

的增区间为；减区间为.

⑵令

要使恒成立，只需当时，

令，则对恒成立

在上是增函数，则

①当时， 恒成立， 在上为增函数

， 满足题意；

②当时， 在上有实根, 在上是增函数

则当时， ， 不符合题意；

③当时， 恒成立， 在上为减函数，

不符合题意

，即.

⑶

设切点坐标为，则切线斜率为

从而切线方程为

令， ，这两个函数的图象均关于点对称，则它们交点的横坐标也关于对称，从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列的项也关于成对出现，又在共有1008对，每对和为.

.

点睛：（1）求出导数，然后根据导数大于零和小于零求出对应的单调区间，（2）构造辅助函数，将问题转化为求此函数的最小值问题，然后根据k的取值进行讨论，（3）把解析式代入，求出其导数，设出切点，求出切点的坐标，写出切线方程，得到关于切点横坐标的三角方程，利用函数图像分析得到切点的横坐标的对称性，最后结合给出的范围得到S的值