Question

【2017西安铁一中五模】已知函数，其中常数.

（Ⅰ）讨论在上的单调性；

（Ⅱ）当时，若曲线上总存在相异两点，使曲线在两点处的切线互相平行，试求的取值范围.

Answer

（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（1）求导数，对分类讨论，利用导数的正负，即可得到在区间上的单调性；

（2）利用过两点处的切线互相平行，建立方程，结合基本不等式，再求最值，即可求解的取值范围。

试题解析：（Ⅰ）由已知得， 的定义域为，且

，

①当时， ，且，

所以时， ； 时， .

所以，函数在上是减函数，在上是增函数；

②当时， ， 在区间内恒成立，

所以在上是减函数；

③当时， ，

所以时， ； 时，

所以函数在上是减函数，在上是增函数.

（Ⅱ）由题意，可得， 且

即，化简得，

由，得

即对恒成立，

令，则对恒成立

∴在上单调递增，则，所以，

所以，

故取值范围为.

点睛：本题考查导数在函数中的综合应用问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性及其应用，利用导数研究函数的极值与最值及其应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中第2问题中转化为对在恒成立是解答的关键。