Question

已知圆M过两点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心M在x＋y－2＝0上．

(1) 求圆M的方程；

(2) 设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA′，PB′是圆M的两条切线，A′，B′为切点，求四边形PA′MB′面积的最小值．

Answer

（1）(x－1)2＋(y－1)2＝4；（2）.

【解析】试题分析：（1）设出圆的标准方程，利用圆M过两点C（1，-1）、D（-1，1）且圆心M在直线x+y-2=0上，建立方程组，即可求圆M的方程；
（2）四边形PAMB的面积为S＝2，因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x+4y+8=0上找一点P，使得|PM|的值最小，利用点到直线的距离公式，即可求得结论．

试题解析：

(1) 设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，

根据题意得

解得a＝b＝1，r＝2.

故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.

(2) 由题知，四边形PA′MB′的面积为S＝S△PA′M＋S△PB′M＝|A′M||PA′|＋|B′M||PB′|.

又|A′M|＝|B′M|＝2，|PA′|＝|PB′|，

所以S＝2|PA′|.

而|PA′|＝.

即S＝2.

因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，

所以|PM|min＝，

所以四边形PA′MB′面积的最小值为S＝2＝2＝2.