Question

已知数列的前n项和为S_n,点在直线上,数列为等差数列,且,前9项和为153.

(1)求数列、的通项公式;

(2)设,数列的前n项和为,求使不等式对一切的都成立的最大整数k.

Answer

（1）an=n+5, （2）18

【解析】试题分析：

(1)由通项公式与前n项和的关于可得an=n+5；求得数列的基本量可得；

(2)裂项求和可求得，求解关于n的不等式可知最大整数k是18.

试题解析：

(1)由已知有,即,

则当n≥2时, ,

两式相减得an=n+5,又a1=S1=6,也符合上式,所以an=n+5,

设{bn}的公差为d,前n项和为Rn,则由已知有,所以b5=17,

所以,所以bn=b3+3(n-3)=3n+2 ;

(2)由(1)得,

所以

由Tn单调递增得的最小值为,所以恒成立即,

所以k的最大整数值为18.

点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．