Question

如图,在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AA₁⊥底面ABC，AC⊥BC,四边形BB₁C₁C为正方形，设AB₁的中点为D，B₁C∩BC₁=E.

求证：（1）DE∥平面AA₁C₁C;

(2)BC₁⊥平面AB₁C.

Answer

（1）见解析（2）见解析

【解析】试题分析：

(1)由题意中的几何关系可得：DE∥AC,结合线面平行的判断定理可证得DE∥平面AA1C1C;

(2)由题意可得：AC⊥BC1, BC1⊥B1C,利用线面垂直的判断定理可得BC1⊥平面AB1C.

试题解析：

证明:(1)因为四边形BB1C1C为正方形,

所以E为B1C的中点,又D为AB1的中点,所以DE为△AB1C的中位线,所以DE∥AC,

又,所以DE∥平面AA1C1C;

(2)因为AA1⊥底面ABC,且ABC-A1B1C1为三棱柱,

所以CC1⊥底面ABC,又,所以CC1⊥AC,

又AC⊥BC,BC∩CC1=C, ,所以AC⊥平面,

又B ,所以AC⊥BC1,又四边形BB1C1C为正方形,所以BC1⊥B1C,

又AC∩CB1=C, ,所以BC1⊥平面AB1C.

点睛：注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”，