Question

已知函数f（x）= （t+1）lnx，，其中t∈R．

（1）若t=1，求证：当x＞1时，f（x）＞0成立；

（2）若t＞ ，判断函数g（x）=x[f（x）+t+1]的零点的个数．

Answer

（1）见解析（2）1

【解析】试题分析：（1）当时，对求导， 得增区间，得减区间，进而求出函数的最小值值，即可证明；（2）若t＞ ，求得函数g（x）=x[f（x）+t+1]的导函数，研究其单调性，根据零点定理再利用导数即可判定零点的个数.

试题解析：【解析】
（1）t=1时，f（x）=x﹣﹣2lnx，x＞0

∴f′（x）=1+﹣==≥0，

∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，

∴f（x）＞f（1）=1﹣1﹣0=0，

∴x＞1，f（x）＞0成立，

（2）当x∈（0，+∞），g（x）=tx2﹣（t+1）xlnx+（t+1）x﹣1

∴g′（x）=2tx﹣（t+1）lnx，

设m（x）=2tx﹣（t+1）lnx， ∴m′（x）=2t﹣=，

令m′（x）=0，得x=，

当0＜x＜时，m'（x）＜0；当时x＞，m'（x）＞0．

∴g'（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．

∴g'（x）的最小值为g′（）=（t+1）（1﹣ln），

∵t＞，∴ =+＜+＜e．

∴g'（x）的最小值g′（）=（t+1）（1﹣ln）＞0，

从而，g（x）在区间（0，+∞）上单调递增．

又g（1）=2t＞0，又g（）=+（6+2lnt）﹣1，

设h（t）=e3t﹣（2lnt+6）．

则h′（t）=e3﹣．

令h'（t）=0得t=．由h'（t）＜0，得0＜t＜；

由h'（t）＞0，得t＞．

∴h（t）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．

∴h（t）min=h（）=2﹣2ln2＞0．

∴h（t）＞0恒成立．∴e3t＞2lnt+6，．

∴g（）＜+﹣1=++﹣1＜++﹣1＜0．

∴当t＞时，函数g（x）恰有1个零点