Question

某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价：若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费；若用水量超过12吨且不超过14吨时，超过12吨部分按6.60元/吨计算水费；若用水量超过14吨时，超过14吨部分按7.80元/吨计算水费．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照，，…，分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图.

（图1）                                 （图2）

（Ⅰ）假设用抽到的100户居民月用水量作为样本估计全市的居民用水情况．

（i）现从全市居民中依次随机抽取5户，求这5户居民恰好3户居民的月用水用量都超过12吨的概率；

（ⅱ）试估计全市居民用水价格的期望（精确到0.01）；

（Ⅱ）如图2是该市居民李某2016年1～6月份的月用水费(元)与月份的散点图，其拟合的线性回归方程是. 若李某2016年1～7月份水费总支出为294.6元，试估计李某7月份的用水吨数．

Answer

（I）（i）；（ii）吨；（II）13吨.

【解析】试题分析：

（i）由二项分布的概率公式可得概率为；

（ii）列出分布列，然后求得其属性期望值为吨；

（II）利用题意求得回归方程，然后结合题意可求得李某7月份的用水吨数为13吨.

试题解析：

【解析】
（Ⅰ）（ⅰ）由题意，从全市居民中依次随机抽取5户，每户居民月用水量超过12吨的概率为，因此这5户居民恰好3户居民的月用水量都超过12吨的概率为

．

（ⅱ）由题设条件及月均用水量的频率分布直方图，可得居民每月的水费数据分组与概率分布表如下：

月用水量（吨）

价格(元/吨)

4

4.20

4.60

概率

0.9

0.06

0.04

所以全市居民用水价格的期望吨．

（Ⅱ）设李某2016年1～6月份的月用水费（元）与月份的对应点为，它们的平均值分别为，则，又点在直线上，所以，因此，所以7月份的水费为元．

设居民月用水量为吨，相应的水费为元，则

，即：

当时，，

所以李某7月份的用水吨数约为13吨．

点睛：一是在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率/组距，而不是频率；

二是利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.