Question

如图，在三棱柱ABC­A₁B₁C₁中，已知AB⊥侧面BB₁C₁C，AB＝BC＝1，BB₁＝2，∠BCC₁＝ .

(1)求证：C₁B⊥平面ABC；

设  (0≤λ≤1)，且平面AB₁E与BB₁E所成的锐二面角的大小为30°，

试求λ的值．

Answer

（1）见解析（2）1

【解析】试题分析：（1）先由线面垂直的性质证明，再根据余玄定理及勾股定理证明，利用直线与平面垂直的判断定理证明平面；（2）通过两两垂直.以为原点，所在直线轴建立空间直角坐标系.求出相关点的坐标，求出平面的一个法向量，平面BB1E的一个法向量，通过向量的数量积，推出的方程，求解即可.

试题解析：(1)证明：因为AB⊥侧面BB1C1C，BC1⊂侧面BB1C1C，故AB⊥BC1.

在△BCC1中，BC＝1，CC1＝BB1＝2，∠BCC1＝，

BC＝BC2＋CC－2BC·CC1·cos∠BCC1＝12＋22－2×1×2×cos＝3.

所以BC1＝，故BC2＋BC＝CC，所以BC⊥BC1，

而BC∩AB＝B 所以C1B⊥平面ABC.

(2)由(1)可知，AB，BC，BC1两两垂直．以B为原点，BC，BA，BC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．

则B(0,0,0)，A(0,1,0)，B1(－1,0，)，C(1,0,0)，C1(0,0，)．

所以＝(－1,0，)，所以＝(－λ，0，λ)，则E(1－λ，0，λ)．

则＝(1－λ，－1，λ)，＝(－1，－1，)．

设平面AB1E的法向量为n＝(x，y，z)，

则即

令z＝，则x＝，y＝，

故n＝是平面AB1E的一个法向量．

因为AB⊥平面BB1C1C，所以＝(0,1,0)是平面BB1E的一个法向量，

所以|cos〈n，〉|＝

＝

＝.

两边平方并化简得2λ2－5λ＋3＝0，所以λ＝1或λ＝ (舍去)．

故所求λ的值为1

【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.