Question

已知椭圆的右焦点，椭圆的左，右顶点分别为．过点的直线与椭圆交于两点，且的面积是的面积的3倍．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若与轴垂直，是椭圆上位于直线两侧的动点，且满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由．

Answer

（I）；（II）为定值.

【解析】试题分析：

(1)利用题意求得，则椭圆的方程为．

(2)设出直线的 斜率，联立直线与椭圆的方程可得直线的斜率为定值.

试题解析：

解法一：（Ⅰ）因为的面积是的面积的3倍，

所以，即，所以，所以，

则椭圆的方程为．

（Ⅱ）当，则，

设直线的斜率为，则直线的斜率为，

不妨设点在轴上方，，设，

则的直线方程为，代入中整理得

，

；

同理．

所以，，

则，

因此直线的斜率是定值．

解法二：（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）依题意知直线的斜率存在，所以设方程：代入中整理得

，设，

所以，，

当，则，不妨设点在轴上方，，

所以，整理得，

所以 ，

整理得，

即，所以或．

当时，直线过定点，不合题意；

当时，，符合题意，

所以直线的斜率是定值．