Question

已知函数，，，其中，且.

  ⑴当时，求函数的最大值；

  ⑵求函数的单调区间；

  ⑶设函数若对任意给定的非零实数，存在非零实数（），

  使得 成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）详见解析；（3）.

【解析】试题分析：⑴令求出根，判断两边的符号，求出最值；⑵导数大于零求出单增区间，导数小于零求出单调递减区间，注意单调区间一定在定义域内；⑶不等式恒成立就是求函数的最值，注意对参数的讨论.

试题解析：⑴当时，∴

令，则，∴在上单调递增，在上单调递减

∴

⑵，，（）

∴当时，，∴函数的增区间为，

当时，，

当时，，函数是减函数；

当时，，函数是增函数。

综上得，

当时，的增区间为；

当时，的增区间为，减区间为

⑶当，在上是减函数，此时的取值集合；

当时，，

若时，在上是增函数，此时的取值集合；

若时，在上是减函数，此时的取值集合。

对任意给定的非零实数，

①当时，∵在上是减函数，则在上不存在实数（），使得，则，要在上存在非零实数（），使得成立，必定有，∴；

②当时，在时是单调函数，则，要在上存在非零实数（），使得成立，必定有，∴。

综上得，实数的取值范围为.