Question

若二次函数 满足，且.

(1)求的解析式；

(2)若在区间[－1,1]上，不等式恒成立，求实数的取值范围；

(3)解关于的不等式  .

Answer

（1）；（2）；（3）详见解析.

【解析】试题分析：（1）由二次函数可设，由求得的值，由可得的值，即可得的解析式；（2）欲使在区间上不等式恒成立，只须在区间上恒成立，也就是要的最小值大于0，即可得的取值范围；（3）含有参数的一元二次不等式利用分类讨论思想，分为，和三种情形进行讨论.

试题解析：(1)由f(0)＝1得，c＝1，∴f(x)＝ax2＋bx＋1.又f(x＋1)－f(x)＝2x

∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，即2ax＋a＋b＝2x，

∴∴.因此，f(x)＝x2－x＋1.

(2)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．

∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，

∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1>0得，m<－1.

因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．

（3） 即

当时，

当时，

当时，

综上：当时

当时，，当时，

点睛：本题主要考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式，以及函数的恒成立与函数的最值求解的相互转化，主要涉及单调性在函数的最值求解中的应用，属于中档题；对于含有参数的一元二次不等式常用分类讨论的思想进行求解，常见的讨论形式有：1、对二次项系数进行讨论；2、对相对应的方程是否有根进行讨论；3、对应根的大小进行讨论.