Question

已知圆与直线相切.

（1）求圆的方程；

（2）过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程；

（3）设圆与轴的负半抽的交点为，过点作两条斜率分别为的直线交圆于两点，且，证明：直线过定点，并求出该定点坐标.

Answer

(1) ;(2) ；（3）.

【解析】试题分析：（1）由圆心到切线距离等于半径确定圆O的方程；（2）讨论直线l的斜率，利用弦长为明确直线l的斜率;(3)联立，分别表示B、C的坐标，然后表示直线BC的方程，明确定点坐标.

试题解析：

（1）由题意知，

所以圆的方程为

（2）①若直线的斜率不存在，直线为，

此时截圆所得弦长为 ，不合题意。

②若直线的斜率存在,设直线为 即

由题意，圆心到的距离 ,

则直线的方程为

（3）由题意知， 设直线

由 得

可得

,用代替 得

,所以直线过定点

点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.