Question

选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系， 是曲线上的动点，点， 是线段的中点.

（Ⅰ）求点轨迹的参数方程；

（Ⅱ）证明：点到点与的距离之比为常数.

Answer

（1）点轨迹的参数方程为（为参数）.（2）见解析

【解析】试题分析：（Ⅰ）先将曲线的极坐标方程转化为直角坐标系下的方程，再写出其参数方程，再利用点的关系可求得点轨迹的参数方程；（Ⅱ）利用两点间距离公式，化简后可得比为常数．

试题解析：（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，即.

其参数方程为（为参数），

设，则， ，

故点轨迹的参数方程为（为参数）.

（Ⅱ），

，

∴，结论成立.

点睛：本题主要考查平面直角坐标系与极坐标系下的方程间的联系与转化,及参数方程.关于曲线的极坐标方程与直角坐标系的互化,一般来说直接代入公式, ,,但某些时侯也要做些变化,例如将等式两比同乘以(除以) ,将等式两边同时平方等.如果要判断曲线的形状,一般将方程转化为直角坐标方程再进行判断.直线参数方程标准式中的几何意义也非常重要,要能够理解.