Question

已知椭圆的离心率为，且过点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）斜率为1的直线与椭圆交于异于的另外两点、，求的取值范围.

Answer

（1）（2）

【解析】试题分析：（Ⅰ）由离心率和过点及，可得关于的方程，解方程求得；（Ⅱ）可设直线的方程为， ， ，将椭圆方程与直线方程联立，消去可得关于的方程，利用根与系数的关系，可将用表示，可利用函数性质求得其取值范围．

试题解析：（Ⅰ）由已知得，且，解得， ，

∴椭圆的方程为.

（Ⅱ）设直线的方程为， ， ，

联立，得， ， .

，∴，

又直线不过点，∴， .

∵， ，

∴

，

∵，且，∴，即的取值范围是.

点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质,直线与椭圆的位置关系,弦长公式.圆锥曲线中最值与范围的求法有两种(1)几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决,这就是几何法.(2)代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数,则可首先建立起目标函数,然后再求这个函数的最值和范围.