Question

已知函数.

（Ⅰ）当时，证明： 在定义域上为减函数；

（Ⅱ）若.讨论函数的零点情况.

Answer

（1）见解析（2）当时，函数无零点；当或时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点.

【解析】试题分析：（Ⅰ）当时，对函数求导，利用导数与函数单调性的关系，可证明函数在定义域上为减函数；（Ⅱ） 的根情况，方程化简为，构造函数，利用导数判断这个函数的取值情况，与结合可得，函数的零点情况．

试题解析：（Ⅰ）由题意可知函数的定义域为.

，令，则，

当时， ；当时， ，所以，

即，所以，所以在定义域上为减函数.

（Ⅱ）的零点情况，即方程的根情况，

因为，所以方程可化为，

令，则，令，可得，

当时， ，

当时， ，所以，

且当时， ；当时， ，

所以的图像大致如图所示，

结合图像可知，当时，方程没有根；

当或时，方程有一个根；

当时，方程有两个根.

所以当时，函数无零点；当或时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点.