Question

选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为， .

（Ⅰ）若直线与曲线交于不同的两点， ，当时，求的值；

（Ⅱ）当时，求曲线关于直线对称的曲线方程.

Answer

（Ⅰ）.（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）将直线的参数方程与曲线的极坐标方程都化为直角坐标方程，结合圆的几何性质，根据点到直线的距离公式求解；（Ⅱ）结合直线与圆的位置关系，求出圆心关于直线的对称点即可得结果.

试题解析：（Ⅰ）消去参数，得曲线的普通方程为，圆心，半径为.

将， 代入直线的极坐标方程得.

因为，所以圆心到直线的距离，

所以由，解得.

（Ⅱ）当时，直线的方程为，

圆心到直线的距离为 ，即圆与直线相切，此时切点为，

则圆心关于切点的对称点为，此即为所求圆的圆心，

所以曲线关于直线对称的曲线方程为.