Question

如图所示，在多面体中， 与均为边长为2的正方形， 为等腰直角三角形， ，且平面平面，平面平面.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer

（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）由线面垂直可得，由为等腰直角三角形可得，从而平面，进而可得平面平面；（Ⅱ）以为原点，以， ， 分别为轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面与平面的的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果

试题解析：（Ⅰ） 平面平面，且，

平面.

平面， .

又为等腰直角三角形， ， .

， 平面.

又平面， 平面平面.

（Ⅱ）平面平面， ，

平面，

， .

又， 以为原点，以， ， 分别为轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则由题意，知， ， ， ， ，

， ， ， .

设为平面的一个法向量，则

由得取，则.

设为平面的一个法向量，则

由得取，则，

.

平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

【方法点晴】本题主要考查线面垂直的性质、面面垂直的判定，利用空间向量二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.