Question

已知点在椭圆： （）上，设， ， 分别为左顶点、上顶点、下顶点，且下顶点到直线的距离为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设点， （）为椭圆上两点，且满足，求证： 的面积为定值，并求出该定值.

Answer

（Ⅰ）.（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意列出关于 、 、的方程组，结合性质 ，求出 、 、，即可得结果；（Ⅱ）直线的方程为，代入椭圆方程，并整理得 ，根据韦达定理，弦长公式将、点到直线的距离公式将的面积，用 表示，再结合 ，即可得结果.

试题解析：（Ⅰ）由题意，得直线的方程为，点，

点到直线的距离 ，整理，得.①

又点在椭圆上， .②

联立①②解得， ，

椭圆的方程为.

（Ⅱ）设直线的方程为，代入椭圆方程，并整理得 .

， ，

， ，

.

又，则由题意，得 .

整理，得，则 ，

整理，得（满足）.

.

又点到直线的距离.

，为定值.